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    2003-10-30
    )

    Una Enigmática Fórmula
    2003-10-30


    Publicado en El Correo, miércoles 29 de octubre de 2003, Territorios, Ciencia-Futuro

    El trabajo de unos matemáticos ingleses que ayudó a la victoria aliada en la II Guerra Mundial es ahora, medio siglo después, comprendido y mejorado por otros matemáticos: nadie hasta la fecha había conseguido saber por qué había funcionado todo...

    Alan Turing (1912 - 1954) es uno de los matemáticos fundamentales del siglo pasado, reconocido actualmente como uno de los padres de la informática actual y en concreto de la inteligencia artificial. También es conocida su labor como criptoanalista en la II Guerra Mundial: Turing fue uno de los matemáticos que consiguió elaborar la descodificación de los mensajes secretos que los alemanes se enviaban, utilizando una máquina denominada Enigma que proporcionaba, en principio, una encriptación inviolable. De hecho, de su trabajo para el servicio secreto británico surgió en parte su programa científico sobre máquinas lógicas y computación "inteligente". Sin embargo, su homosexualidad y su suicidio en 1954 hicieron que una sociedad mojigata le mantuviera durante varios decenios casi en el anonimato, aparte de que su trabajo criptográfico se mantenía también como secreto.

    La historia de cómo los aliados consiguieron descifrar los códigos secretos alemanes se ha contado en numerosos libros y ha sido, también recientemente, objeto de interés por el cine (la película de Apted "Enigma", por ejemplo, aún puede verse en nuestras carteleras). En la llamada "Escuela Gubernamental de Cifrado y Codificación" que los británicos establecieron antes de la IIGM en Bletchley Park, cerca de Londres, se trabajaba en análisis del lenguaje y en la elaboración de maneras de codificar un mensaje de manera que sólo quien posea determinada clave pueda descifrarlo. Igualmente, el problema inverso era fundamental: a partir de textos cifrados, poder encontrar la manera de convertirlos al lenguaje normal. En 1938, Turing se incorporó al equipo que trabajaba sobre unos mensajes que los alemanes codificaban empleando una máquina con varios rotores que conmutaban de forma compleja cada secuencia de letras en un galimatías inexplicable. Los matemáticos polacos trabajaban también en ello, avanzando ideas que, en cualquier caso, tardaron bastantes años en poder dar resultados razonables.

    En primer lugar, no se disponía de la máquina en sí: no se sabía cómo era físicamente ese artilugio mecánico, que era capaz de romper las reglas que el lenguaje convencional tiene para despistar a los criptoanalistas. El tipo de codificación más sencillo sería uno de sustitución: en el que una letra es cambiada por otra. Los mensajes así codificados guardan la huella del mensaje original porque reproducen la frecuencia del lenguaje natural del que provienen. Pero Enigma (como otros mecanismos criptográficos) realizaba una sustitución cambiante: una letra determinada no siempre producía en el texto la misma letra o número, sino que iba variando, tanto cada vez, debido al movimiento de esos rotores mecánicos de la máquina, como a la introducción de claves determinadas para cada fecha o cada origen, que se introducían como "semilla" del encriptador. Estas claves estaban en un libro que tenían los responsables de enviar los mensajes, el Kengruppenbauch, que los británicos consiguieron robar a los alemanes sin que ellos lo supieran (asegurándose así que iban a seguir utilizándolo).

    Rompiendo El Código "Enigma"
    Los matemáticos diseñaban estrategias desde el álgebra intentando saber, con los datos que los espías daban de las máquinas alemanas, cómo podría funcionar todo el proceso, y así, plantear la manera de hacer el trabajo inverso. Pero no era sencillo: Alan Turing, y su asistente experto en estadística Irving John Good (nacido en 1916), propusieron analizar conjuntamente mensajes diferentes de diversas fuentes para poder encontrar patrones comunes. A partir de mensajes antiguos, cuyo significado se había podido entender (porque hacían mención a datos ya conocidos), los análisis que proporcionaba la fórmula de Good-Turing, permitían ir conociendo qué claves del libro se estaban usando.

    Por un lado la fórmula era antiintuitiva, por otro el análisis requería una cantidad de cálculos y combinaciones descomunal. Pero permitió que se construyera en 1939 un calculador electromecánico, denominado la Bomba, con el que los expertos podían acelerar el proceso. Cuando además se consiguió recuperar una máquina Enigma intacta de un submarino, el proceso condujo a la comprensión casi completa de los mensajes. Se suele decir que la Batalla del Atlántico fue ganada gracias a estos conocimientos criptográficos que comenzaron a ser compartidos por los expertos de los diferentes países aliados, no sin problemas de logística y seguridad. Se suele comentar también que esta ventaja de los aliados facilitó la derrota alemana, o incluso la adelantó en tres años, dando una ventaja fundamental que evitó el conflicto nuclear.

    ¿Cómo consiguieron Turing y Good sacar algo en claro de un bosque aparentemente aleatorio de mensajes incomprensibles? Los matemáticos Alon Orlitsky, Narayana P. Santhanam y Junan Zhang, matemáticos de la Universidad de California en San Diego (EEUU) han publicado en la revista Science (17 de octubre de 2003) un artículo en el que analizan y expanden esta fórmula. Pensemos en que alguien prepara un safari (utilizando el ejemplo que emplean estos matemáticos) y observa una muestra al azar de animales africanos: tres jirafas, una cebra y dos elefantes. ¿Se podría estimar la probabilidad, a partir de esos datos, de qué animales nos encontraremos? Una estimación podría permitirnos afirmar que hay un 50% de probabilidades de que nos encontremos una jirafa, un 33,3% de ver un elefante y la mitad de ver una cebra. "Pero con este pobre estimador estaríamos completamente indefensos ante la aparición de un león enfurecido", como dicen los matemáticos.

    Cuando nos encontramos con que a veces conocemos algunas especies y su frecuencia, pero no otras, las estimaciones sencillas no valen. Este problema es relativamente clásico en matemáticas, con soluciones que ya había aportado Laplace dos siglos antes. Pero al aplicarlo a la lingüística, al análisis de lenguajes criptográficos, la intuición de Turing y Good fue poder obtener probabilidades condicionales a partir del análisis de diferentes mensajes de la misma fuente, o de mensajes concurrentes de diversas fuentes, que permiten definir estimadores de probabilidad condicionada a que aparezcan términos desconocidos.

    En el artículo de los matemáticos californianos se detallan nuevos procedimientos para hacer estimaciones de los factores conocidos y predicciones de los nuevos basándose en aspectos teóricos de la teoría de probabilidades, pero aplicando además los conceptos del aprendizaje a partir de las estimaciones anteriores. Han dado, mediante estas técnicas, con nuevos estimadores que no sólo son "mejores" que los que Turing y Good realizaron hace cincuenta años (y que se seguían usando en numerosos problemas en los que hay que obtener estimaciones a partir de datos que no son completos), sino que además permiten ser usados en otros campos donde esa estimación fallaba.

    Aplicaciones Matemáticas
    Aunque normalmente no nos demos cuenta de ello, la matemática subyace en gran parte de las actividades humanas. Los análisis que se realizan gracias a estimaciones como las que proporciona la fórmula Good-Turing abarcan un gran número de problemas nada "matemáticos" (en cuanto a teóricos o alejados de lo cotidiano): pensemos por ejemplo en los correctores ortográficos. ¿De qué manera el programa de procesado de textos puede analizar si una palabra está correctamente escrita o si se ha bailado un par de letras al teclear? ¿Qué hace cuando se encuentra una palabra nueva? Los cada vez más usados en sistemas informáticos programas de reconocimiento del habla se encuentran con problemas similares cuando intentan analizar lo que está diciendo una persona.

    A partir de la comprensión de cómo se estructura el lenguaje y con estimadores como los que proporcionan estas fórmulas matemáticas se pueden diseñar procesos que automatizan estas complejas labores. Las máquinas, que operan matemáticamente muy bien, pueden así acercarse a lo que hacemos muy bien los humanos: hablar.

    Algunos Enlaces
    Una biografía de Good.
    Todo (o casi todo) sobre Turing en las páginas de Andrew Hodges.
    Sobre la fórmula de Good-Turing.

    2003-10-30 07:11
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